Umkehrfunktion Beispiel Essay

Umkehrfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Umkehrfunktion ist.

Problemstellung

Gegeben ist der Funktionswert \(y\) einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige \(x\)-Wert.

Beispiel

Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y\)
Die Funktion \(f\) ordnet jedem Euro-Betrag \(x\) einen Betrag \(y\) in Dollar zu.

Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone.
Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x\)
Die Funktion \(f^{-1}\) ordnet jedem Dollar-Betrag \(y\) einen Betrag \(x\) in Euro zu.

\(f^{-1}\) heißt Umkehrfunktion von \(f\).

Umkehrfunktion bilden

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen
  2. \(x\) und \(y\) vertauschen

Beispiel

Gesucht ist die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = 2x\).

1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
y &= 2x &&{\color{gray}| :2}\\[5pt]
\frac{1}{2}y &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \frac{1}{2}y
\end{align*}\)

2.) \(x\) und \(y\) vertauschen

\(y = \frac{1}{2}x\)

Die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = 2x\) ist \(f^{-1}\colon\; y = \frac{1}{2}x\).

Wir zeichnen \(f\) und \(f^{-1}\) aus dem Beispiel in ein Koordinatensystem ein:


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Funktion \(f\colon\; y = 2x\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \frac{1}{2}x\)

Ist dir aufgefallen, dass die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) symmetrisch zueinander sind?

Der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) entsteht aus der Funktion \(f\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden \(w\) mit der Gleichung \(y = x\).

Da bei der Umkehrfunktion im Vergleich zur zugehörigen Funktion \(x\) und \(y\) vertauscht sind, gilt:

  • Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{D}_{f^{-1}}\) = Wertemenge der Funktion \(\mathbb{W}_{f}\)
  • Wertemenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{W}_{f^{-1}}\) = Definitionsmenge der Funktion \(\mathbb{D}_{f}\)

Definition der Umkehrfunktion

Grundsätzlich gilt: Nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion.
Das führt uns zur Frage nach der Definition der Umkehrfunktion.

Wiederholung: Funktion

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Mathematiker formulieren das so:

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \rightarrow W\)

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
was eine Funktion und was keine Funktion ist.

Beispiel 1

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Beispiel 2

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um keine Funktion, da dem Element \(c\) der Menge \(\text{A}\) zwei Elemente (\(g\) und \(h\)) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet sind.

Beispiel 3

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Dass sich einem Element aus der Menge \(\text{B}\) zwei Elemente der Menge \(\text{A}\) zuordnen lassen, spielt keine Rolle. Es handelt sich laut Definition trotzdem um eine Funktion.

Voraussetzung: Umkehrfunktion

Eine Funktion \(f\) besitzt eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\), wenn
jedem Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
genau ein Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f^{-1}\colon\; W \rightarrow D\)

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
wann eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt und wann nicht.

Beispiel 1

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Bei \(f^{-1}\colon\; B \rightarrow A\) handelt es sich um die Umkehrfunktion, da jedem Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) genau ein Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) zugeordnet ist.

Beispiel 2

Bei \(f\colon\; A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Bei \(f^{-1}\colon\; B \rightarrow A\) handelt es sich um keine Umkehrfunktion, da dem Element \(h\) der Menge \(B\) zwei Elemente (\(c\) und \(d\)) der Menge \(A\) zugeordnet sind.

Die Funktion \(f\) besitzt keine Umkehrfunktion!

Nach dieser mengentheoretischen Betrachtung wird es langsam Zeit, dass wir uns ein paar konkrete Funktionen anschauen, die umkehrbar bzw. nicht umkehrbar sind.


Die Abbildung zeigt den Graphen der
linearen Funktion \(f(x) = x\).

Lineare Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem \(y\) ein \(x\) eindeutig zugeordnet ist.

Daraus folgt, dass \(f(x) = x\) für \(x \in \mathbb{R}\)
umkehrbar ist.


Die Abbildung zeigt den Graphen der
quadratischen Funktion \(f(x) = x^2\).

Quadratische Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem \(y\) zwei \(x\) zugeordnet sind. Beispielsweise gehören zu dem \(y\)-Wert \(y = 4\) die \(x\)-Werte \(x = -2\) und \(x = 2\).

Daraus folgt, dass \(f(x) = x^2\) für \(x \in \mathbb{R}\)
nicht umkehrbar ist.

Wenn wir im obigen Beispiel jedoch die Definitionsmenge so beschränken, dass die Funktion im betrachteten Intervall entweder nur steigt (rechter Parabelast) oder nur fällt (linker Parabelast), ist wieder jedem \(y\) ein \(x\) eindeutig zugeordnet und die Funktion somit umkehrbar. Allgemein gilt:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion ist umkehrbar.

Anschaulich erkennt man die Umkehrbarkeit einer Funktion \(f\) daran, dass jede Parallele zur x-Achse den Graph von \(f\) höchstens einmal schneidet.

Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

In der folgenden Tabelle sind einige Funktionen und ihre Umkehrfunktionen zusammengestellt:

Funktion
\(f\colon\, D \to W\)
Definitionsmenge
\(D\)
Wertemenge
\(W\)
Umkehrfunktion
\(f^{-1}\colon\; W \to D\)
\(y = ax\) mit \(a \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\)
(Lineare Funktionen)
\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)\(y = \frac{1}{a}x\)
\(y = x^2\)
(Quadratische Funktionen)
[1] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[2] \(\mathbb{R}^{-}_{0}\)
[1] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[2] \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
[1] \(y = \sqrt{x}\)
[2] \(y = -\sqrt{x}\)
\(y = x^n\) mit \(n \in \mathbb{N}\backslash\{1\}\)
(Potenzfunktionen)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\)\(\mathbb{R}^{+}_{0}\)\(y = \sqrt[n]{x}\)
(Wurzelfunktionen)
\(y = a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)
(Exponentialfunktionen)
\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}^{+}\)\(y = \log_{a}{x}\)
(Logarithmusfunktionen)
\(y = e^x\)
(e-Funktion)
\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}^{+}\)\(y = \ln(x)\)
(ln-Funktion)
\(y = \sin(x)\)
(Sinus)
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)\([-1,1]\)\(y = \arcsin(x)\)
(Arkussinus)
\(y = \cos(x)\)
(Kosinus)
\([0,\pi]\)\([-1,1]\)\(y = \arccos(x)\)
(Arkuskosinus)
\(y = \tan(x)\)
(Tangens)
\(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\)\(\mathbb{R}\)\(y = \arctan(x)\)
(Arkustangens)

Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion: \((f^{-1})^{-1} = f\).

Vertiefende Themen


In diesem Artikel befassen wir uns mit der Umkehrfunktion. Dabei wird erklärt, was man unter einer Umkehrfunktion zu verstehen hat, wie man sie berechnen kann und wie man sie ableiten kann. Alles wird durch Beispiele verdeutlicht. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Bevor wir uns auf die Umkehrfunktion stürzen, sollte ihr kurz nachsehen ob euch die folgenden Begriffe schon etwas sagen. Ist das nicht der Fall, dann lest bitte erst einmal die im Folgenden verlinkten Inhalte durch. Denn wer diese bereits kennt tut sich wesentlich leichter mit dem Bilden der Umkehrfunktion sowie deren Ableitung.

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Umkehrfunktion berechnen Grundlagen

In der Mathematik hat man oftmals Funktionen der Art y = f(x), also zum Beispiel y = 3x + 2 oder y = 5x + 5.  Löst man nun diese Funktionen nach "x" auf und vertauscht anschließend x und y, dann erhält man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, oft auch inverse Funktion genannt. Diese Umkehrfunktion wird oft mit f-1 bezeichnet. Leider ist es so, dass dies nicht immer möglich ist. Zum besseren Verständnis sehen wir uns die allgemeine Vorgehensweise an und dann geht es an einige Beispiele.

Allgemeine Vorgehensweise:

  • Die Funktionsgleichung y = f(x) lösen wir nach der Variablen x auf.
  • Im Anschluss vertauschen wir x und y.

Beispiel 1: Lineare Funktion

Gegeben sei die lineare Funktion y = 2x + 1. Ziel ist es die Umkehrfunktion zu berechnen. Dazu lösen wir die Gleichung nach x auf und vertauschen im Anschluss x und y. Bei dieser Funktion ist es möglich die Umkehrfunktion zu berechnen, da jedem X-Wert ein  Y-Wert zugeordnet werden kann. Wir erhalten dadurch y = 0,5x - 0,5. Hier die komplette Rechnung:

Umkehrfunktion grafisch:

Nachdem wir nun ein Beispiel gerechnet haben sehen wir uns die Umkehrfunktion einmal grafisch an. In rot seht ihr die Ausgangsfunktion y = 2x + 1 und in grün die Umkehrfunktion y = 0,5x - 0,5.  Nun zeichnen wir uns noch mit x = y die Winkelhalbierende im 1. und 3. Quadranten des Koordinatensystems ein. Spiegelt man nun einen Punkt der roten Gerade an der Winkelhalbierenden erhält man einen Punkt auf der grünen Geraden.

Beispiel 2: Lineare Funktion

Als nächstes sehen wir uns die Funktion y = 3x - 5 an. Auch hier bilden wir die Umkehrfunktion, indem wir zunächst nach x auflösen und im Anschluss x und y vertauschen. Und auch hier handelt es sich um eine lineare Funktion, daher ist das Bilden der Umkehrfunktion auch möglich.

Beispiel 3: Quadratische Funktion

Bei einer quadratischen Funktion wie zum Beispiel y = x2 tritt ein Problem auf. Hier liegt keine eindeutige Zuordnung vor, denn einem y-Wert sind zwei x-Werte zugeordnet. So erhält man y = 4 sowohl mit x = 2 als auch mit x = -2. Oder y = 9 erhält man sowohl mit x = 3 als auch mit x = -3.  Um hier dennoch die Umkehrfunktion bilden zu können, muss man zwei verschiedene Fälle unterscheiden können. So sehen wir uns einmal den Bereich für positive x-Werte und einmal den Bereich für negative x-Werte an. Dadurch entstehen zwei Umkehrfunktionen. Das sieht dann so aus:

Beispiel 4: E-Funktion

Sehen wir uns als nächstes eine E-Funktion an. Dabei soll die Umkehrfunktion von y = ex gebildet werden. Durch Einsatz des natürlichen Logarithmus erhalten wir zunächst x = ln(y). Nun vertauschen wir wieder x und y und erhalten als Umkehrfunktion y = ln(x).

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Umkehrfunktion ableiten

Wir wissen nun was eine Umkehrfunktion ist. Im zweiten Teil dieses Artikels geht es nun darum, eine Umkehrfunktion ableiten zu können. Folgt dem nächsten Link um dies zu lernen.

Links:

One thought on “Umkehrfunktion Beispiel Essay

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